Logaritmo y sus propiedades.

Definición de Logaritmo.

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

El logaritmo se define como:

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos 1. Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.                                            loga(X · Y)= loga X + loga Y Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X. Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y. loga(X · Y)= loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y Este resultado se puede generalizar para más de dos factores. Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,                          loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn 2. Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.                                                    Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y                     3. Logaritmo de una potencia El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.                                                loga Xn = n loga X Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X.                              loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X 4. Logaritmo de una raíz El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.                                           Demostración: Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.                                  Observe que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.