LAS MATEMÁTICAS

Las matemáticas, correctamente vistas, poseen no solo verdad, sino suprema belleza beautya fría y austera, como la de la escultura, sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los adornos preciosos de la pintura o la música, aún sublimemente puro, y capaz de perfección severa como solo el mejor arte puede mostrar. El verdadero espíritu de deleite, la exaltación, la sensación de ser más que el Hombre, que es la piedra de toque de la más alta excelencia, se encuentran tanto en las matemáticas como en la poesía.

HAY una historia sobre dos amigos, que eran compañeros de clase en la escuela secundaria, hablando sobre sus trabajos. Uno de ellos se convirtió en un estadístico y estaba trabajando en las tendencias de la población. Mostró una reimpresión a su antiguo compañero de clase. La reimpresión comenzó, como de costumbre, con la distribución de Gauss y el estadístico le explicó a su antiguo compañero de clase el significado de los símbolos para la población real, para la población promedio, y así sucesivamente. Su compañero de clase era un poco incrédulo y no estaba muy seguro de si el estadístico estaba tirando de su pierna. "¿Cómo puedes saber eso?" fue su consulta. "¿Y qué es este símbolo aquí?" "Oh", dijo el estadístico, "esto es pi". "¿Que es eso?" "La relación de la circunferencia del círculo con su diámetro". "Bueno, ahora estás empujando tu broma demasiado lejos"

Naturalmente, nos inclinamos a sonreír sobre la simplicidad del enfoque del compañero de clase. Sin embargo, cuando escuché esta historia, tuve que admitir una sensación extraña porque, seguramente, la reacción de la compañera traicionó solo el sentido común. Estaba aún más confundido cuando, no muchos días después, alguien vino a mí y me expresó su desconcierto [1 La observación que se cita fue hecha por F. Werner cuando era estudiante en Princeton.] con el hecho de que hacemos una selección bastante limitada al elegir los datos en los que probamos nuestras teorías. "¿Cómo sabemos que, si hiciéramos una teoría que centrara su atención en los fenómenos, omitiríamos y desatendiéramos algunos de los fenómenos que hoy nos llaman la atención, no podríamos construir otra teoría que tenga poco en común con la presente pero que, sin embargo, ¿explica tantos fenómenos como la teoría actual? Debe admitirse que no tenemos pruebas definitivas de que no exista tal teoría.

Las dos historias anteriores ilustran los dos puntos principales que son los temas del discurso actual. El primer punto es que los conceptos matemáticos aparecen en conexiones totalmente inesperadas. Además, a menudo permiten una descripción inesperadamente cercana y precisa de los fenómenos en estas conexiones. En segundo lugar, solo por esta circunstancia, y porque no comprendemos las razones de su utilidad, no podemos saber si una teoría formulada en términos de conceptos matemáticos es únicamente apropiada. Estamos en una posición similar a la de un hombre que recibió un montón de llaves y que, al tener que abrir varias puertas seguidas, siempre pulsa la tecla derecha en la primera o segunda prueba. Se volvió escéptico sobre la singularidad de la coordinación entre llaves

¿QUE ES LA MATEMATICA?

Alguien dijo una vez que la filosofía es el uso indebido de una terminología que fue inventada solo para este propósito. [2 Esta declaración se cita aquí de Die Filosophie der Mathematik in der Gegenwart de W. Dubislav (Berlín: Junker y Dunnhaupt Verlag, 1932), p. 1.]En el mismo sentido, diría que las matemáticas son la ciencia de las operaciones hábiles con conceptos y reglas inventadas solo para este propósito. El énfasis principal está en la invención de conceptos. Las matemáticas pronto se quedarán sin teoremas interesantes si estos tuvieran que ser formulados en términos de los conceptos que ya aparecen en los axiomas. Además, mientras que es indudablemente cierto que los conceptos de las matemáticas elementales y particularmente de la geometría elemental se formularon para describir entidades directamente sugeridas por el mundo real, lo mismo no parece ser cierto para los conceptos más avanzados, en particular los conceptos que jugar un papel tan importante en la física. Así, las reglas para operaciones con pares de números están obviamente diseñadas para dar los mismos resultados que las operaciones con fracciones que aprendimos primero sin hacer referencia a "pares de números". Las reglas para las operaciones con secuencias, es decir, con números irracionales, todavía pertenecen a la categoría de reglas que se determinaron para reproducir reglas para las operaciones con cantidades que ya conocíamos. La mayoría de los conceptos matemáticos más avanzados, como los números complejos, las álgebras, los operadores lineales, los conjuntos de Borel -y esta lista podría continuar casi indefinidamente- fueron concebidos de tal manera que son temas apropiados sobre los cuales el matemático puede demostrar su ingenio y sentido de belleza formal. De hecho, la definición de estos conceptos, con la comprensión de que podrían aplicarse consideraciones interesantes e ingeniosas a ellos, es la primera demostración del ingenio del matemático que los define. La profundidad de pensamiento que entra en la formulación de los conceptos matemáticos se justifica más tarde por la habilidad con la que se utilizan estos conceptos.

Los números complejos proporcionan un ejemplo particularmente llamativo para lo anterior. Ciertamente, nada en nuestra experiencia sugiere la introducción de estas cantidades. De hecho, si se le pide a un matemático que justifique su interés en números complejos, señalará, con cierta indignación, los muchos teoremas hermosos en la teoría de ecuaciones, de series de poder y de funciones analíticas en general, que deben su origen a la introducción de números complejos.

¿QUE ES LA FISICA?

El físico está interesado en descubrir las leyes de la naturaleza inanimada. Para entender esta afirmación, es necesario analizar el concepto, "ley de la naturaleza".

El mundo que nos rodea tiene una complejidad desconcertante y el hecho más obvio al respecto es que no podemos predecir el futuro. Aunque la broma solo atribuye al optimista la opinión de que el futuro es incierto, el optimista está en lo correcto en este caso: el futuro es impredecible. Es, como lo ha señalado Schrodinger, un milagro que a pesar de la desconcertante complejidad del mundo, podrían descubrirse ciertas regularidades en los acontecimientos. Una de esas regularidades, descubierta por Galileo, es que dos rocas, caídas al mismo tiempo desde la misma altura, alcanzan el suelo al mismo tiempo. Las leyes de la naturaleza están relacionadas con tales regularidades. La regularidad de Galileo es un prototipo de una gran clase de regularidades. Es una regularidad sorprendente por tres razones.

La primera razón por la que es sorprendente es que es verdad no solo en Pisa, y en el tiempo de Galileo, es cierto en todas partes de la Tierra, siempre fue verdad, y siempre será verdad. Esta propiedad de la regularidad es una propiedad de invarianza reconocida y, como tuve ocasión de señalar hace algún tiempo, sin principios de invarianza similares a los implicados en la generalización precedente de la observación de Galileo, la física no sería posible. La segunda característica sorprendente es que la regularidad que estamos discutiendo es independiente de tantas condiciones que podrían tener un efecto sobre ella. Es válido independientemente de si llueve o no, si el experimento se lleva a cabo en una habitación o desde la Torre Inclinada, sin importar si la persona que arroja las rocas es un hombre o una mujer. Es válido incluso si las dos rocas se caen, simultáneamente y desde la misma altura, por dos personas diferentes. Obviamente, hay innumerables otras condiciones que son inmateriales desde el punto de vista de la validez de la regularidad de Galileo. La irrelevancia de tantas circunstancias que podrían desempeñar un papel en el fenómeno observado también se ha denominado una invarianza. Sin embargo, esta invarianza es de un carácter diferente al anterior, ya que no puede formularse como un principio general. La exploración de las condiciones que influyen y que no influyen en un fenómeno forma parte de la exploración experimental inicial de un campo. Es la habilidad y el ingenio del experimentador lo que le muestra los fenómenos que dependen de un conjunto relativamente estrecho de condiciones relativamente fáciles de realizar y reproducibles. innumerables otras condiciones que son todas inmateriales desde el punto de vista de la validez de la regularidad de Galileo. La irrelevancia de tantas circunstancias que podrían desempeñar un papel en el fenómeno observado también se ha denominado una invarianza. Sin embargo, esta invarianza es de un carácter diferente al anterior, ya que no puede formularse como un principio general. La exploración de las condiciones que influyen y que no influyen en un fenómeno forma parte de la exploración experimental inicial de un campo. Es la habilidad y el ingenio del experimentador lo que le muestra los fenómenos que dependen de un conjunto relativamente estrecho de condiciones relativamente fáciles de realizar y reproducibles. innumerables otras condiciones que son todas inmateriales desde el punto de vista de la validez de la regularidad de Galileo. La irrelevancia de tantas circunstancias que podrían desempeñar un papel en el fenómeno observado también se ha denominado una invarianza. Sin embargo, esta invarianza es de un carácter diferente al anterior, ya que no puede formularse como un principio general. La exploración de las condiciones que influyen y no influyen en un fenómeno forma parte de la exploración experimental inicial de un campo. Es la habilidad y el ingenio del experimentador lo que le muestra los fenómenos que dependen de un conjunto relativamente estrecho de condiciones relativamente fáciles de realizar y reproducibles. La irrelevancia de tantas circunstancias que podrían desempeñar un papel en el fenómeno observado también se ha denominado una invarianza. Sin embargo, esta invarianza es de un carácter diferente al anterior, ya que no puede formularse como un principio general. La exploración de las condiciones que influyen y no influyen en un fenómeno forma parte de la exploración experimental inicial de un campo. Es la habilidad y el ingenio del experimentador lo que le muestra los fenómenos que dependen de un conjunto relativamente estrecho de condiciones relativamente fáciles de realizar y reproducibles. La irrelevancia de tantas circunstancias que podrían desempeñar un papel en el fenómeno observado también se ha denominado una invarianza. Sin embargo, esta invarianza es de un carácter diferente al anterior, ya que no puede formularse como un principio general. La exploración de las condiciones que influyen y no influyen en un fenómeno forma parte de la exploración experimental inicial de un campo.